予算制約線

私のお小遣いは40000円である。

カキフライ定食は１０００円、牛丼なら５００円だ。

40000円を全てカキフライ定食か牛丼で使うとする。

カキフライの数をx、牛丼の数をyとしたとき、以下の制約が生ずる。

１０００円 × x + ５００円 × y ≦ 40000円

これを変形すると、

y ≦ -１０００円 × x / ５００円 + 40000円/５００円

となる。ここで

カキフライ定食の値段をPx
牛丼の値段をPy

お小遣い(収入)をm

とすると、

y= -Px/Py × x + m/Py

という式が成り立つ。

この直線を予算制約線という。
この予算制約線に囲まれた三角形を予算集合とよび、予算という制約の中で取りうるy財とx財の組み合わせの集合だ。

なお、縦軸にy財、横軸にx財なので、右下がりの直線となり、

傾きが-Px/Py

y軸との交点(y切片)はm/Py
x軸との交点(x切片)はm/Px

となる。

価格と収入の上昇による影響

ここで牛丼(Py)が値上げされたことを考えてみる。

Pyはy切片 m/Py の分母だから、価格が上がるほど、y切片は小さくなる（原点に近づく）。x切片 m/Px は変わらない。

傾き -Px/Py も、分母のPyが大きくなるので、緩やかになる。予算制約線は、x切片を軸にして内側へ回転する。

たとえば牛丼が500円から1,000円に値上げされると、40,000円で食べられる牛丼は80杯から40杯に減る（y切片が80から40へ下がる）。傾きは -2 から -1 になる。

同様に、カキフライ定食(Px)が値上げされたら、x切片 m/Px は小さくなり（左へ移動）、傾き -Px/Py は急になる。今度は、y切片を軸にして内側へ回転する。

カキフライ定食が1,000円から2,000円になると、x切片は40食から20食へ下がり、傾きは -2 から -4 になる。

値上げされた財の軸の切片が、原点の方へ下がると覚えよう。買える量が減るのだから、予算集合は狭くなる。

また、収入が上がった場合はどうなるか？

y切片にも、x切片にも、収入mが分子にあるから、両方の切片が上がる。

しかし、傾き-Px/Pyには、mがないので傾きはそのまま、予算制約線が上にシフトすることになる。

photo credit: jetalone via photopin cc

編集後記

次は効用最大化の予定です。

▼▼▼続きを読みたい人は、ぜひシェア！▼▼▼